代码单元 1
import numpy as np
import pandas as pd
import statsmodels.api as sm
import statsmodels.formula.api as smf
泊松响应数据的加权 GLM
载入数据
这个例子使用 Fair 数据集，通过少量解释变量建立模型，考察婚外关系相关指标。这里的重点是权重与数据组织方式如何影响估计结果，并非因果推断，也不据此判断某个具体人的行为。
原 notebook 构造权重，说明 freq_weights 如何对应重复观测；再比较 var_weights 在聚合数据中的作用。两者不能仅凭名称相近而互换。
后面的输出均保留自官方 notebook 的已保存结果，属于原文示例输出。变量名和模型输出字段保留英文，便于与代码一一对应。
代码单元 2
print(sm.datasets.fair.NOTE)
原文输出（单元 2）：
::
Number of observations: 6366
Number of variables: 9
Variable name definitions:
rate_marriage : How rate marriage, 1 = very poor, 2 = poor, 3 = fair,
4 = good, 5 = very good
age : Age
yrs_married : No. years married. Interval approximations. See
original paper for detailed explanation.
children : No. children
religious : How religious, 1 = not, 2 = mildly, 3 = fairly,
4 = strongly
educ : Level of education, 9 = grade school, 12 = high
school, 14 = some college, 16 = college graduate,
17 = some graduate school, 20 = advanced degree
occupation : 1 = student, 2 = farming, agriculture; semi-skilled,
or unskilled worker; 3 = white-collar; 4 = teacher
counselor social worker, nurse; artist, writers;
technician, skilled worker, 5 = managerial,
administrative, business, 6 = professional with
advanced degree
occupation_husb : Husband's occupation. Same as occupation.
affairs : measure of time spent in extramarital affairs
See the original paper for more details.
将数据载入 pandas DataFrame。
代码单元 3
data = sm.datasets.fair.load_pandas().data
因变量（内生变量）是 affairs。
代码单元 4
data.describe()
原文输出（单元 4）：
| rate_marriage | age | yrs_married | children | religious | educ | occupation | occupation_husb | affairs | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| count | 6366.000000 | 6366.000000 | 6366.000000 | 6366.000000 | 6366.000000 | 6366.000000 | 6366.000000 | 6366.000000 | 6366.000000 |
| mean | 4.109645 | 29.082862 | 9.009425 | 1.396874 | 2.426170 | 14.209865 | 3.424128 | 3.850141 | 0.705374 |
| std | 0.961430 | 6.847882 | 7.280120 | 1.433471 | 0.878369 | 2.178003 | 0.942399 | 1.346435 | 2.203374 |
| min | 1.000000 | 17.500000 | 0.500000 | 0.000000 | 1.000000 | 9.000000 | 1.000000 | 1.000000 | 0.000000 |
| 25% | 4.000000 | 22.000000 | 2.500000 | 0.000000 | 2.000000 | 12.000000 | 3.000000 | 3.000000 | 0.000000 |
| 50% | 4.000000 | 27.000000 | 6.000000 | 1.000000 | 2.000000 | 14.000000 | 3.000000 | 4.000000 | 0.000000 |
| 75% | 5.000000 | 32.000000 | 16.500000 | 2.000000 | 3.000000 | 16.000000 | 4.000000 | 5.000000 | 0.484848 |
| max | 5.000000 | 42.000000 | 23.000000 | 5.500000 | 4.000000 | 20.000000 | 6.000000 | 6.000000 | 57.599991 |
代码单元 5
data[:3]
原文输出（单元 5）：
| rate_marriage | age | yrs_married | children | religious | educ | occupation | occupation_husb | affairs | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 3.0 | 32.0 | 9.0 | 3.0 | 3.0 | 17.0 | 2.0 | 5.0 | 0.111111 |
| 1 | 3.0 | 27.0 | 13.0 | 3.0 | 1.0 | 14.0 | 3.0 | 4.0 | 3.230769 |
| 2 | 4.0 | 22.0 | 2.5 | 0.0 | 1.0 | 16.0 | 3.0 | 5.0 | 1.400000 |
接下来主要使用泊松 GLM。虽然程序能够对小数形式的响应进行拟合，原例为了演示计数响应，将 affairs 向上取整。这是教学中的数据变换，不意味着原始指标天然就是符合泊松分布的事件次数。
代码单元 6
data["affairs"] = np.ceil(data["affairs"])
data[:3]
原文输出（单元 6）：
| rate_marriage | age | yrs_married | children | religious | educ | occupation | occupation_husb | affairs | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 3.0 | 32.0 | 9.0 | 3.0 | 3.0 | 17.0 | 2.0 | 5.0 | 1.0 |
| 1 | 3.0 | 27.0 | 13.0 | 3.0 | 1.0 | 14.0 | 3.0 | 4.0 | 4.0 |
| 2 | 4.0 | 22.0 | 2.5 | 0.0 | 1.0 | 16.0 | 3.0 | 5.0 | 2.0 |
代码单元 7
(data["affairs"] == 0).mean()
原文输出（单元 7）：
np.float64(0.6775054979579014)
代码单元 8
np.bincount(data["affairs"].astype(int))
原文输出（单元 8）：
array([4313, 934, 488, 180, 130, 172, 7, 21, 67, 2, 0,
0, 17, 0, 0, 0, 3, 12, 8, 0, 0, 0,
0, 0, 2, 2, 2, 3, 0, 0, 0, 0, 0,
0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0,
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,
0, 0, 0, 1])
压缩与聚合观测
原始数据有 6366 条观测。如果只考虑选定的变量，其中不少行会完全相同。下面采用两种方式合并：第一种要求响应与解释变量全部相同；第二种只要求解释变量相同。
完全相同观测的压缩数据
用 pandas 的 groupby 合并所选变量完全相同的行，再创建 freq 列，记录每一行代表了多少条原始观测。
代码单元 9
data2 = data.copy()
data2["const"] = 1
dc = (
data2["affairs rate_marriage age yrs_married const".split()]
.groupby("affairs rate_marriage age yrs_married".split())
.count()
)
dc = dc.reset_index()
dc = dc.rename(columns={"const": "freq"})
print(dc.shape)
dc.head()
原文输出（单元 9）：
(476, 5)
原文输出（单元 9）：
| affairs | rate_marriage | age | yrs_married | freq | |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0.0 | 1.0 | 17.5 | 0.5 | 1 |
| 1 | 0.0 | 1.0 | 22.0 | 2.5 | 3 |
| 2 | 0.0 | 1.0 | 27.0 | 2.5 | 1 |
| 3 | 0.0 | 1.0 | 27.0 | 6.0 | 5 |
| 4 | 0.0 | 1.0 | 27.0 | 9.0 | 1 |
解释变量相同的聚合数据
接下来只按解释变量分组。同组观测的响应可能不同，因此同时计算响应的均值、总和与数量。
继续使用 pandas 的 groupby 和聚合操作，再把产生的多层列索引 MultiIndex 展平成普通列名。
代码单元 10
gr = data["affairs rate_marriage age yrs_married".split()].groupby(
"rate_marriage age yrs_married".split()
)
df_a = gr.agg(["mean", "sum", "count"])
def merge_tuple(tpl):
if isinstance(tpl, tuple) and len(tpl) > 1:
return "_".join(map(str, tpl))
else:
return tpl
df_a.columns = df_a.columns.map(merge_tuple)
df_a.reset_index(inplace=True)
print(df_a.shape)
df_a.head()
原文输出（单元 10）：
(130, 6)
原文输出（单元 10）：
| rate_marriage | age | yrs_married | affairs_mean | affairs_sum | affairs_count | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1.0 | 17.5 | 0.5 | 0.000000 | 0.0 | 1 |
| 1 | 1.0 | 22.0 | 2.5 | 3.900000 | 39.0 | 10 |
| 2 | 1.0 | 27.0 | 2.5 | 3.400000 | 17.0 | 5 |
| 3 | 1.0 | 27.0 | 6.0 | 0.900000 | 9.0 | 10 |
| 4 | 1.0 | 27.0 | 9.0 | 1.333333 | 4.0 | 3 |
合并后，dc 包含 476 条不同的观测组合，df_a 包含 130 条不同的解释变量组合。原文此处写成 467，与它紧邻的代码输出不一致；这里依据原文输出改为 476。
代码单元 11
print("number of rows: \noriginal, with unique observations, with unique exog")
data.shape[0], dc.shape[0], df_a.shape[0]
原文输出（单元 11）：
number of rows: original, with unique observations, with unique exog
原文输出（单元 11）：
(6366, 476, 130)
模型分析
下面比较原始数据的泊松 GLM，以及用权重或暴露量表示重复与聚合观测的模型。
原始数据
代码单元 12
glm = smf.glm(
"affairs ~ rate_marriage + age + yrs_married",
data=data,
family=sm.families.Poisson(),
)
res_o = glm.fit()
print(res_o.summary())
原文输出（单元 12）：
Generalized Linear Model Regression Results
==============================================================================
Dep. Variable: affairs No. Observations: 6366
Model: GLM Df Residuals: 6362
Model Family: Poisson Df Model: 3
Link Function: Log Scale: 1.0000
Method: IRLS Log-Likelihood: -10351.
Date: Thu, 27 Aug 2026 Deviance: 15375.
Time: 06:50:44 Pearson chi2: 3.23e+04
No. Iterations: 6 Pseudo R-squ. (CS): 0.2420
Covariance Type: nonrobust
=================================================================================
coef std err z P>|z| [0.025 0.975]
---------------------------------------------------------------------------------
Intercept 2.7155 0.107 25.294 0.000 2.505 2.926
rate_marriage -0.4952 0.012 -41.702 0.000 -0.518 -0.472
age -0.0299 0.004 -6.691 0.000 -0.039 -0.021
yrs_married -0.0108 0.004 -2.507 0.012 -0.019 -0.002
=================================================================================
代码单元 13
res_o.pearson_chi2 / res_o.df_resid
原文输出（单元 13）：
np.float64(5.078702313363289)
用频数权重拟合压缩数据
合并完全相同的观测后，使用 freq_weights 表示每条记录的重复次数，会得到相同的参数估计与相关推断。不过，面向单条存储记录的结果属性可能不同。例如，残差数组不会因为频数权重而自动展开为原始数据的行数。
代码单元 14
glm = smf.glm(
"affairs ~ rate_marriage + age + yrs_married",
data=dc,
family=sm.families.Poisson(),
freq_weights=np.asarray(dc["freq"]),
)
res_f = glm.fit()
print(res_f.summary())
原文输出（单元 14）：
Generalized Linear Model Regression Results
==============================================================================
Dep. Variable: affairs No. Observations: 476
Model: GLM Df Residuals: 6362
Model Family: Poisson Df Model: 3
Link Function: Log Scale: 1.0000
Method: IRLS Log-Likelihood: -10351.
Date: Thu, 27 Aug 2026 Deviance: 15375.
Time: 06:50:44 Pearson chi2: 3.23e+04
No. Iterations: 6 Pseudo R-squ. (CS): 0.9754
Covariance Type: nonrobust
=================================================================================
coef std err z P>|z| [0.025 0.975]
---------------------------------------------------------------------------------
Intercept 2.7155 0.107 25.294 0.000 2.505 2.926
rate_marriage -0.4952 0.012 -41.702 0.000 -0.518 -0.472
age -0.0299 0.004 -6.691 0.000 -0.039 -0.021
yrs_married -0.0108 0.004 -2.507 0.012 -0.019 -0.002
=================================================================================
代码单元 15
res_f.pearson_chi2 / res_f.df_resid
原文输出（单元 15）：
np.float64(5.078702313363198)
将频数改传给 var_weights
接下来比较 var_weights 和 freq_weights。方差权重通常用于响应为均值的情形，而不是表示完全相同观测的重复次数。
原作者指出，不能据本例直接断言两种权重在一般情形下有相同理论结果。本例确实得到相同的参数估计，但残差自由度 df_resid 不同，因为 var_weights 不会像频数权重那样增加有效观测数。
代码单元 16
glm = smf.glm(
"affairs ~ rate_marriage + age + yrs_married",
data=dc,
family=sm.families.Poisson(),
var_weights=np.asarray(dc["freq"]),
)
res_fv = glm.fit()
print(res_fv.summary())
原文输出（单元 16）：
Generalized Linear Model Regression Results
==============================================================================
Dep. Variable: affairs No. Observations: 476
Model: GLM Df Residuals: 472
Model Family: Poisson Df Model: 3
Link Function: Log Scale: 1.0000
Method: IRLS Log-Likelihood: -10351.
Date: Thu, 27 Aug 2026 Deviance: 15375.
Time: 06:50:44 Pearson chi2: 3.23e+04
No. Iterations: 6 Pseudo R-squ. (CS): 0.9754
Covariance Type: nonrobust
=================================================================================
coef std err z P>|z| [0.025 0.975]
---------------------------------------------------------------------------------
Intercept 2.7155 0.107 25.294 0.000 2.505 2.926
rate_marriage -0.4952 0.012 -41.702 0.000 -0.518 -0.472
age -0.0299 0.004 -6.691 0.000 -0.039 -0.021
yrs_married -0.0108 0.004 -2.507 0.012 -0.019 -0.002
=================================================================================
如果本意是恢复原始重复观测的离散程度，直接用这一方差权重模型的 df_resid 作分母，会得到与原始分析不对应的结果。采用原始观测的残差自由度，才得到原例预期的离散程度。这里是在比较不同权重语义，不应把两者自由度不同本身视为程序错误。
代码单元 17
res_fv.pearson_chi2 / res_fv.df_resid, res_f.pearson_chi2 / res_f.df_resid
原文输出（单元 17）：
(np.float64(68.45488160512006), np.float64(5.078702313363198))
解释变量相同的总和与均值
现在按解释变量相同的观测进行聚合，响应取组内总和或均值。
总和配合 exposure
若响应是组内所有响应的总和，在相应的独立泊松模型假设下，总和仍为泊松分布。每组包含的人数不同，因此用 exposure 表示每条聚合记录代表的观测数量。
这里的参数估计与参数协方差与原始数据相同，但对数似然、偏差和 Pearson 卡方统计量有所不同。
代码单元 18
glm = smf.glm(
"affairs_sum ~ rate_marriage + age + yrs_married",
data=df_a,
family=sm.families.Poisson(),
exposure=np.asarray(df_a["affairs_count"]),
)
res_e = glm.fit()
print(res_e.summary())
原文输出（单元 18）：
Generalized Linear Model Regression Results
==============================================================================
Dep. Variable: affairs_sum No. Observations: 130
Model: GLM Df Residuals: 126
Model Family: Poisson Df Model: 3
Link Function: Log Scale: 1.0000
Method: IRLS Log-Likelihood: -740.75
Date: Thu, 27 Aug 2026 Deviance: 967.46
Time: 06:50:44 Pearson chi2: 926.
No. Iterations: 6 Pseudo R-squ. (CS): 1.000
Covariance Type: nonrobust
=================================================================================
coef std err z P>|z| [0.025 0.975]
---------------------------------------------------------------------------------
Intercept 2.7155 0.107 25.294 0.000 2.505 2.926
rate_marriage -0.4952 0.012 -41.702 0.000 -0.518 -0.472
age -0.0299 0.004 -6.691 0.000 -0.039 -0.021
yrs_married -0.0108 0.004 -2.507 0.012 -0.019 -0.002
=================================================================================
代码单元 19
res_e.pearson_chi2 / res_e.df_resid
原文输出（单元 19）：
np.float64(7.350789109179558)
均值配合 var_weights
也可以把组内响应均值作为因变量。这时，均值的方差与该组总暴露量成反比，因此用代表组内数量的方差权重。
代码单元 20
glm = smf.glm(
"affairs_mean ~ rate_marriage + age + yrs_married",
data=df_a,
family=sm.families.Poisson(),
var_weights=np.asarray(df_a["affairs_count"]),
)
res_a = glm.fit()
print(res_a.summary())
原文输出（单元 20）：
Generalized Linear Model Regression Results
==============================================================================
Dep. Variable: affairs_mean No. Observations: 130
Model: GLM Df Residuals: 126
Model Family: Poisson Df Model: 3
Link Function: Log Scale: 1.0000
Method: IRLS Log-Likelihood: -5954.2
Date: Thu, 27 Aug 2026 Deviance: 967.46
Time: 06:50:44 Pearson chi2: 926.
No. Iterations: 5 Pseudo R-squ. (CS): 1.000
Covariance Type: nonrobust
=================================================================================
coef std err z P>|z| [0.025 0.975]
---------------------------------------------------------------------------------
Intercept 2.7155 0.107 25.294 0.000 2.505 2.926
rate_marriage -0.4952 0.012 -41.702 0.000 -0.518 -0.472
age -0.0299 0.004 -6.691 0.000 -0.039 -0.021
yrs_married -0.0108 0.004 -2.507 0.012 -0.019 -0.002
=================================================================================
对比四种结果
前面的汇总显示，params、cov_params 及相关 Wald 推断一致。下面逐项比较不同数据表示下的结果属性。
参数估计 params、参数标准误 bse，以及检验参数为零的 pvalues 都一致。然而，对数似然 llf、偏差 deviance 和 pearson_chi2 只部分一致。聚合后的统计量与原始逐条观测的结果不同。
原文提醒：这些统计量的处理方式在以后版本中仍可能改变。
当模型设定适当时，对解释变量相同的响应取总和或均值，都可以建立合理的似然解释。不过，当前这些结果统计量没有完整反映这种对应关系；计算上可能涉及聚合数据所需的调整。
理论上还需要区分另一类情形：特别是把 var_weights 当作方差调整、而分布模型并不完全正确时，普通似然分析可能不适用，应从准似然角度解释估计。方差权重既可以表示一个正确指定模型中的均值精度，也可以只是准似然模型中的方差调整，因此存在语义差异。原作者在这里并不尝试使所有似然定义完全匹配。
下一节将展示：在假定底层模型设定正确的前提下，各种聚合表示仍会得到相同的似然比型比较结果。不能因某一组绝对统计量不同，就直接跨表示比较模型优劣。
代码单元 21
results_all = [res_o, res_f, res_e, res_a]
names = "res_o res_f res_e res_a".split()
代码单元 22
pd.concat([r.params for r in results_all], axis=1, keys=names)
原文输出（单元 22）：
| res_o | res_f | res_e | res_a | |
|---|---|---|---|---|
| Intercept | 2.715533 | 2.715533 | 2.715533 | 2.715533 |
| rate_marriage | -0.495180 | -0.495180 | -0.495180 | -0.495180 |
| age | -0.029914 | -0.029914 | -0.029914 | -0.029914 |
| yrs_married | -0.010763 | -0.010763 | -0.010763 | -0.010763 |
代码单元 23
pd.concat([r.bse for r in results_all], axis=1, keys=names)
原文输出（单元 23）：
| res_o | res_f | res_e | res_a | |
|---|---|---|---|---|
| Intercept | 0.107360 | 0.107360 | 0.107360 | 0.107360 |
| rate_marriage | 0.011874 | 0.011874 | 0.011874 | 0.011874 |
| age | 0.004471 | 0.004471 | 0.004471 | 0.004471 |
| yrs_married | 0.004294 | 0.004294 | 0.004294 | 0.004294 |
代码单元 24
pd.concat([r.pvalues for r in results_all], axis=1, keys=names)
原文输出（单元 24）：
| res_o | res_f | res_e | res_a | |
|---|---|---|---|---|
| Intercept | 3.756282e-141 | 3.756280e-141 | 3.756282e-141 | 3.756282e-141 |
| rate_marriage | 0.000000e+00 | 0.000000e+00 | 0.000000e+00 | 0.000000e+00 |
| age | 2.221918e-11 | 2.221918e-11 | 2.221918e-11 | 2.221918e-11 |
| yrs_married | 1.219200e-02 | 1.219200e-02 | 1.219200e-02 | 1.219200e-02 |
代码单元 25
pd.DataFrame(
np.column_stack([[r.llf, r.deviance, r.pearson_chi2] for r in results_all]),
columns=names,
index=["llf", "deviance", "pearson chi2"],
)
原文输出（单元 25）：
| res_o | res_f | res_e | res_a | |
|---|---|---|---|---|
| llf | -10350.913296 | -10350.913296 | -740.748534 | -5954.219866 |
| deviance | 15374.679054 | 15374.679054 | 967.455734 | 967.455734 |
| pearson chi2 | 32310.704118 | 32310.704118 | 926.199428 | 926.199428 |
似然比型检验
前面已经看到，聚合数据与原始数据的似然和部分拟合优度统计量并不相同。下面展示：本例的似然差与偏差差在各个数据表示下相同，但 Pearson 卡方的差并不相同。原作者强调，这一部分仍有需要澄清之处，未来实现可能改变。
具体做法是去掉 age，形成约束较多的简化模型，再计算“简化模型减去完整模型”的统计量差。代码最后一个数是对数似然差；常规似然比统计量是它的 -2 倍，不能把负的对数似然差直接当作卡方统计量。
原始观测与频数权重
代码单元 26
glm = smf.glm(
"affairs ~ rate_marriage + yrs_married", data=data, family=sm.families.Poisson()
)
res_o2 = glm.fit()
# print(res_f2.summary())
res_o2.pearson_chi2 - res_o.pearson_chi2, res_o2.deviance - res_o.deviance, res_o2.llf - res_o.llf
原文输出（单元 26）：
(np.float64(52.91343161856639), np.float64(45.726693322505525), np.float64(-22.863346661253672))
代码单元 27
glm = smf.glm(
"affairs ~ rate_marriage + yrs_married",
data=dc,
family=sm.families.Poisson(),
freq_weights=np.asarray(dc["freq"]),
)
res_f2 = glm.fit()
# print(res_f2.summary())
res_f2.pearson_chi2 - res_f.pearson_chi2, res_f2.deviance - res_f.deviance, res_f2.llf - res_f.llf
原文输出（单元 27）：
(np.float64(52.913431618668255), np.float64(45.726693322505525), np.float64(-22.863346661251853))
聚合数据：exposure 与 var_weights
本例的似然比型比较仍与原始观测一致，但 pearson_chi2 的差值不仅不同，还出现了原作者所关注的负号。
代码单元 28
glm = smf.glm(
"affairs_sum ~ rate_marriage + yrs_married",
data=df_a,
family=sm.families.Poisson(),
exposure=np.asarray(df_a["affairs_count"]),
)
res_e2 = glm.fit()
res_e2.pearson_chi2 - res_e.pearson_chi2, res_e2.deviance - res_e.deviance, res_e2.llf - res_e.llf
原文输出（单元 28）：
(np.float64(-31.61852752510879), np.float64(45.72669332250621), np.float64(-22.86334666125299))
代码单元 29
glm = smf.glm(
"affairs_mean ~ rate_marriage + yrs_married",
data=df_a,
family=sm.families.Poisson(),
var_weights=np.asarray(df_a["affairs_count"]),
)
res_a2 = glm.fit()
res_a2.pearson_chi2 - res_a.pearson_chi2, res_a2.deviance - res_a.deviance, res_a2.llf - res_a.llf
原文输出（单元 29）：
(np.float64(-31.618527525113905), np.float64(45.72669332250621), np.float64(-22.863346661252763))
检查 Pearson 卡方统计量
先进行一些基本一致性检查，确认 pearson_chi2 与 Pearson 残差 resid_pearson 的计算没有明显矛盾。以下单元访问了 _results 等内部属性，只保留为原 notebook 的诊断过程；它们不应被当作稳定的业务接口依赖。
代码单元 30
res_e2.pearson_chi2, res_e.pearson_chi2, (res_e2.resid_pearson**2).sum(), (
res_e.resid_pearson**2
).sum()
原文输出（单元 30）：
(np.float64(894.5809002315154), np.float64(926.1994277566242), np.float64(894.5809002315157), np.float64(926.1994277566242))
代码单元 31
res_e._results.resid_response.mean(), res_e.model.family.variance(res_e.mu)[
:5
], res_e.mu[:5]
原文输出（单元 31）：
(np.float64(-2.4049138748803392e-15), array([ 5.42753476, 46.42940306, 19.98971769, 38.50138978, 11.18341883]), array([ 5.42753476, 46.42940306, 19.98971769, 38.50138978, 11.18341883]))
代码单元 32
(res_e._results.resid_response**2 / res_e.model.family.variance(res_e.mu)).sum()
原文输出（单元 32）：
np.float64(926.1994277566242)
代码单元 33
res_e2._results.resid_response.mean(), res_e2.model.family.variance(res_e2.mu)[
:5
], res_e2.mu[:5]
原文输出（单元 33）：
(np.float64(3.1045251839364374e-14), array([ 4.77165474, 44.4026604 , 22.2013302 , 39.14749309, 10.54229538]), array([ 4.77165474, 44.4026604 , 22.2013302 , 39.14749309, 10.54229538]))
代码单元 34
(res_e2._results.resid_response**2 / res_e2.model.family.variance(res_e2.mu)).sum()
原文输出（单元 34）：
np.float64(894.5809002315154)
代码单元 35
(res_e2._results.resid_response**2).sum(), (res_e._results.resid_response**2).sum()
原文输出（单元 35）：
(np.float64(51204.85737832324), np.float64(47104.64779595964))
差值出现负号的一个可能原因是：相减的两个平方项使用了不同的方差分母。相关分析中，可以比较在完整模型与简化模型里使用同一个方差假设的结果。
下面统一使用简化模型的方差作为分母。本例中，四种数据表示下得到相同的缩放平方差。后续讨论见官方 issue #3616。这里是一项诊断性比较，并未给出一个可普遍替代似然比检验的新检验。
代码单元 36
(
(res_e2._results.resid_response**2 - res_e._results.resid_response**2)
/ res_e2.model.family.variance(res_e2.mu)
).sum()
原文输出（单元 36）：
np.float64(44.43314175121902)
代码单元 37
(
(res_a2._results.resid_response**2 - res_a._results.resid_response**2)
/ res_a2.model.family.variance(res_a2.mu)
* res_a2.model.var_weights
).sum()
原文输出（单元 37）：
np.float64(44.43314175121905)
代码单元 38
(
(res_f2._results.resid_response**2 - res_f._results.resid_response**2)
/ res_f2.model.family.variance(res_f2.mu)
* res_f2.model.freq_weights
).sum()
原文输出（单元 38）：
np.float64(44.43314175122029)
代码单元 39
(
(res_o2._results.resid_response**2 - res_o._results.resid_response**2)
/ res_o2.model.family.variance(res_o2.mu)
).sum()
原文输出（单元 39）：
np.float64(44.43314175121979)
补充检查
notebook 的剩余部分是额外的一致性检查，首次阅读可以略过。这里完整保留，便于按顺序核对。
其中出现的固定卡方输入值是原笔记中的附加计算，不应自动当作前面模型比较得到的统计量；请分别查看变量来源。
代码单元 40
np.exp(res_e2.model.exposure)[:5], np.asarray(df_a["affairs_count"])[:5]
原文输出（单元 40）：
(array([ 1., 10., 5., 10., 3.]), array([ 1, 10, 5, 10, 3]))
代码单元 41
res_e2.resid_pearson.sum() - res_e.resid_pearson.sum()
原文输出（单元 41）：
np.float64(-9.66481794586187)
代码单元 42
res_e2.mu[:5]
原文输出（单元 42）：
array([ 4.77165474, 44.4026604 , 22.2013302 , 39.14749309, 10.54229538])
代码单元 43
res_a2.pearson_chi2, res_a.pearson_chi2, res_a2.resid_pearson.sum(), res_a.resid_pearson.sum()
原文输出（单元 43）：
(np.float64(894.5809002315154), np.float64(926.1994277566293), np.float64(-42.34720713518796), np.float64(-32.68238918932164))
代码单元 44
(
(res_a2._results.resid_response**2)
/ res_a2.model.family.variance(res_a2.mu)
* res_a2.model.var_weights
).sum()
原文输出（单元 44）：
np.float64(894.5809002315154)
代码单元 45
(
(res_a._results.resid_response**2)
/ res_a.model.family.variance(res_a.mu)
* res_a.model.var_weights
).sum()
原文输出（单元 45）：
np.float64(926.1994277566293)
代码单元 46
(
(res_a._results.resid_response**2)
/ res_a.model.family.variance(res_a2.mu)
* res_a.model.var_weights
).sum()
原文输出（单元 46）：
np.float64(850.1477584802964)
代码单元 47
res_e.model.endog[:5], res_e2.model.endog[:5]
原文输出（单元 47）：
(array([ 0., 39., 17., 9., 4.]), array([ 0., 39., 17., 9., 4.]))
代码单元 48
res_a.model.endog[:5], res_a2.model.endog[:5]
原文输出（单元 48）：
(array([0. , 3.9 , 3.4 , 0.9 , 1.33333333]), array([0. , 3.9 , 3.4 , 0.9 , 1.33333333]))
代码单元 49
res_a2.model.endog[:5] * np.exp(res_e2.model.exposure)[:5]
原文输出（单元 49）：
array([ 0., 39., 17., 9., 4.])
代码单元 50
res_a2.model.endog[:5] * res_a2.model.var_weights[:5]
原文输出（单元 50）：
array([ 0., 39., 17., 9., 4.])
代码单元 51
from scipy import stats
stats.chi2.sf(27.19530754604785, 1), stats.chi2.sf(29.083798806764687, 1)
原文输出（单元 51）：
(np.float64(1.8390448369994542e-07), np.float64(6.931421143170174e-08))
代码单元 52
res_o.pvalues
原文输出（单元 52）：
Intercept 3.756282e-141 rate_marriage 0.000000e+00 age 2.221918e-11 yrs_married 1.219200e-02 dtype: float64
代码单元 53
print(res_e2.summary())
print(res_e.summary())
原文输出（单元 53）：
Generalized Linear Model Regression Results
==============================================================================
Dep. Variable: affairs_sum No. Observations: 130
Model: GLM Df Residuals: 127
Model Family: Poisson Df Model: 2
Link Function: Log Scale: 1.0000
Method: IRLS Log-Likelihood: -763.61
Date: Thu, 27 Aug 2026 Deviance: 1013.2
Time: 06:50:44 Pearson chi2: 895.
No. Iterations: 6 Pseudo R-squ. (CS): 1.000
Covariance Type: nonrobust
=================================================================================
coef std err z P>|z| [0.025 0.975]
---------------------------------------------------------------------------------
Intercept 2.0754 0.050 41.512 0.000 1.977 2.173
rate_marriage -0.4947 0.012 -41.743 0.000 -0.518 -0.471
yrs_married -0.0360 0.002 -17.542 0.000 -0.040 -0.032
=================================================================================
Generalized Linear Model Regression Results
==============================================================================
Dep. Variable: affairs_sum No. Observations: 130
Model: GLM Df Residuals: 126
Model Family: Poisson Df Model: 3
Link Function: Log Scale: 1.0000
Method: IRLS Log-Likelihood: -740.75
Date: Thu, 27 Aug 2026 Deviance: 967.46
Time: 06:50:44 Pearson chi2: 926.
No. Iterations: 6 Pseudo R-squ. (CS): 1.000
Covariance Type: nonrobust
=================================================================================
coef std err z P>|z| [0.025 0.975]
---------------------------------------------------------------------------------
Intercept 2.7155 0.107 25.294 0.000 2.505 2.926
rate_marriage -0.4952 0.012 -41.702 0.000 -0.518 -0.472
age -0.0299 0.004 -6.691 0.000 -0.039 -0.021
yrs_married -0.0108 0.004 -2.507 0.012 -0.019 -0.002
=================================================================================
代码单元 54
print(res_f2.summary())
print(res_f.summary())
原文输出（单元 54）：
Generalized Linear Model Regression Results
==============================================================================
Dep. Variable: affairs No. Observations: 476
Model: GLM Df Residuals: 6363
Model Family: Poisson Df Model: 2
Link Function: Log Scale: 1.0000
Method: IRLS Log-Likelihood: -10374.
Date: Thu, 27 Aug 2026 Deviance: 15420.
Time: 06:50:44 Pearson chi2: 3.24e+04
No. Iterations: 6 Pseudo R-squ. (CS): 0.9729
Covariance Type: nonrobust
=================================================================================
coef std err z P>|z| [0.025 0.975]
---------------------------------------------------------------------------------
Intercept 2.0754 0.050 41.512 0.000 1.977 2.173
rate_marriage -0.4947 0.012 -41.743 0.000 -0.518 -0.471
yrs_married -0.0360 0.002 -17.542 0.000 -0.040 -0.032
=================================================================================
Generalized Linear Model Regression Results
==============================================================================
Dep. Variable: affairs No. Observations: 476
Model: GLM Df Residuals: 6362
Model Family: Poisson Df Model: 3
Link Function: Log Scale: 1.0000
Method: IRLS Log-Likelihood: -10351.
Date: Thu, 27 Aug 2026 Deviance: 15375.
Time: 06:50:44 Pearson chi2: 3.23e+04
No. Iterations: 6 Pseudo R-squ. (CS): 0.9754
Covariance Type: nonrobust
=================================================================================
coef std err z P>|z| [0.025 0.975]
---------------------------------------------------------------------------------
Intercept 2.7155 0.107 25.294 0.000 2.505 2.926
rate_marriage -0.4952 0.012 -41.702 0.000 -0.518 -0.472
age -0.0299 0.004 -6.691 0.000 -0.039 -0.021
yrs_married -0.0108 0.004 -2.507 0.012 -0.019 -0.002
=================================================================================
来源、版本与许可
原文：Weighted Generalized Linear Models，statsmodels 0.15.0 文档。对应的 Show Source notebook 保留了 2026-08-27 的执行结果；项目中的 notebook 源文件 位于 statsmodels 仓库，采用仓库的 BSD 三条款许可。
本文汉化全部说明，保留 54 个代码单元和原始输出；校正了原文“467 条”的笔误，并补充了数据取整、权重语义、似然比倍数和内部属性的边界说明。输出中的日期和统计值均属于原 notebook。
文档版权：© 2009–2025 Josef Perktold、Skipper Seabold、Jonathan Taylor、statsmodels-developers。以下保留项目许可证的版权、条件与免责声明：
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THE END
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