用多尺度图相关区分线性与螺旋依赖

散点图中一条明显的曲线，不一定对应很大的线性相关系数。SciPy 的多尺度图相关检验（Multiscale Graph Correlation，MGC）可以用于高维、非线性数据的独立性检验；它还提供局部相关图，帮助观察哪些邻域尺度对当前数据的关系更有信息。

本文依据 SciPy 1.18.0 官方教程完整整理线性和螺旋两个例子，并用对应 API 文档核对参数。原作者为 SciPy 文档贡献者，页面无个人署名，也未给出首次发表日期。代码仅作静态审查，本文没有运行模拟或置换检验。

先明确三个输出分别回答什么

MGC 为 X 和 Y 分别考虑近邻数，并把一对近邻数 (k, l) 称为一个尺度。不同尺度下的局部相关值组成二维 mgc_map。算法在这些尺度上寻找经过平滑处理的最优相关，因此不是简单选择一个孤立的高值像素。

multiscale_graphcorr(x, y) 的结果包括统计量、置换检验 p 值以及 mgc_dict。统计量描述本样本中检出的关联，p 值用于判断数据与独立性假设是否相容；mgc_dict["opt_scale"] 则是估计的最优 X、Y 邻域尺度。局部图提供解释线索，但不是对真实生成机制的证明。

对于通常的独立性检验，两组输入应为成对观测，样本数相同；多维输入可使用 (n, p) 与 (n, q)。本教程用两个长度为 100 的一维数组。不要把未对齐的两组样本直接解释为成对独立性检验；该 API 还包含两样本检验行为，实际输入形状应按所用模式核对。

准备绘图函数

原文先导入 NumPy、Matplotlib 和 MGC，然后定义一个绘图函数：可以只画散点图，也可以只画局部相关图。下面保留这两个用途，同时做了明确的编辑修订：使用局部图实际维度，不把范围写死为 100；将矩阵转置，使横轴对应 X 的邻域数、纵轴对应 Y；用从 1 开始的尺度坐标显示热图并标记 opt_scale。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import multiscale_graphcorr

plt.style.use("classic")

def mgc_plot(x, y, sim_name, mgc_dict=None,
             only_viz=False, only_mgc=False):
    if not only_mgc:
        fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 8))
        ax.set_title(f"{sim_name} simulation")
        ax.scatter(x, y)
        ax.set(xlabel="X", ylabel="Y")
        ax.axis("equal")
        plt.show()

    if not only_viz:
        if mgc_dict is None:
            raise ValueError("绘制局部相关图需要 mgc_dict")
        local_map = np.asarray(mgc_dict["mgc_map"])
        nx, ny = local_map.shape
        fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 8))
        im = ax.imshow(
            local_map.T,
            origin="lower",
            extent=(0.5, nx + 0.5, 0.5, ny + 0.5),
            cmap="YlGnBu",
            aspect="auto",
        )
        fig.colorbar(im, ax=ax, label="Local correlation")
        k, l = mgc_dict["opt_scale"]
        ax.scatter(k, l, marker="X", s=160, color="red")
        ax.set(
            title="Local correlation map",
            xlabel="Neighbors for X",
            ylabel="Neighbors for Y",
        )
        plt.show()

散点图是在原始观测空间中观察 X 与 Y；热图则是在“邻域尺度”空间中观察相关值。两幅图坐标轴的含义不同。红色叉号表示算法返回的最优尺度，而不是数据中的某个观测点。

例一：有噪声的线性关系

原文在 −1 到 1 之间等距取 100 个 X 值，再给 y = x 加上随机扰动。扰动为 0.3 * rng.random(...)，因此来自非负区间，并非均值为零的高斯噪声。

# 编辑补充固定随机种子，便于读者在自己的环境复核。
rng = np.random.default_rng(20261005)
x = np.linspace(-1, 1, num=100)
y = x + 0.3 * rng.random(x.size)

mgc_plot(x, y, "Linear", only_viz=True)

stat, pvalue, mgc_dict = multiscale_graphcorr(
    x, y, reps=1000, workers=1, random_state=20261005
)
print("MGC test statistic:", stat)
print("P-value:", repr(pvalue))
print("Optimal scale:", mgc_dict["opt_scale"])
mgc_plot(x, y, "Linear", mgc_dict, only_mgc=True)

原教程展示的统计量四舍五入到一位小数后为 1.0，p 值显示为 0.0。这里必须区分显示结果与实际数值：四舍五入后的 0.0 不是 p 值恰好为零。上面的代码保留浮点输出，并显式给出默认数量级的 1000 次置换。

原文的线性局部相关图在全局尺度取得最优值。直观上，对这组近似直线的数据，考虑更多邻居有助于捕捉整体关系。这个解释针对原教程所展示的样本，不应改写为“所有线性数据都必定得到同一最优尺度”。本文没有复制原结果作为本地运行输出；固定种子后的数值也可能与原图不同。

例二：同一个随机参数生成螺旋

第二组数据从 0 到 5 的均匀分布抽取 100 个参数值，再用余弦和正弦生成螺旋坐标，并为 Y 加上非负噪声。X 与 Y 由同一个参数生成，因此即使关系不是直线，也具有共同结构。

unif = np.array(rng.uniform(0, 5, size=100))
x = unif * np.cos(np.pi * unif)
y = unif * np.sin(np.pi * unif) + 0.4 * rng.random(x.size)

mgc_plot(x, y, "Spiral", only_viz=True)

stat, pvalue, mgc_dict = multiscale_graphcorr(
    x, y, reps=1000, workers=1, random_state=20261006
)
print("MGC test statistic:", stat)
print("P-value:", repr(pvalue))
print("Optimal scale:", mgc_dict["opt_scale"])
mgc_plot(x, y, "Spiral", mgc_dict, only_mgc=True)

原文对这一随机例子展示的统计量约为 0.2，p 值同样被保留一位小数显示为 0.0。它的局部相关图在局部尺度取得最优值，说明在这一例子中，小范围邻域比把全部点视为邻居更有帮助。不要机械比较 1.0 与 0.2 就得出“螺旋没有重要关系”；统计量、置换 p 值和数据几何形状需要一起阅读。

怎样解释，怎样保留不确定性

MGC 的 p 值通过置换估计：打乱样本配对形成独立性假设下的参考分布，再与观测统计量比较。有限次重采样会带来精度限制与随机波动。分析记录应保留完整 p 值、样本数、置换次数、随机种子和软件版本；如果小 p 值对决策关键，可在明确计算成本后增加置换次数，而不应仅为了显示好看而把它写成零。

低 p 值支持“数据存在统计依赖”的判断，不能推出因果关系。最优全局或局部尺度，也不是自动给数据贴上“线性”“螺旋”的分类标签。噪声、样本量、尺度选择和输入预处理都会影响结果。这个教程的价值，是把可见的两类模拟关系与 MGC 输出连接起来，帮助理解局部相关图。

安全审查方面，这些示例仅在内存中生成数组并绘图，没有外部下载、系统命令、硬编码凭据或文件删除操作。置换检验可能消耗较多计算资源，示例保留 workers=1；本文只做静态核对，未运行并行进程或宣称测试通过。

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