用模拟零分布理解小样本正态性检验-未完纪

原文：SciPy 官方教程：Shapiro–Wilk 正态性检验。作者为 SciPy 文档贡献者。本文依据 2026 年 10 月 05 日读取的 SciPy v1.18.0 在线手册编译；原页未给出首次发表日期。代码和数值输出均来自原文或已标明的编辑补充，本次没有执行模拟。

一次正态性检验，不只是得到一个 p 值。更有用的问题是：如果数据确实来自正态分布，像眼前这么小的统计量有多常见？原教程用 11 项历史体重数据，把这个问题转成可以观察的零分布。数据仅用于统计教学，不用于个人健康判断。

原创流程示意图：同样的样本量、同一个统计量，才能进行这次零假设比较。不是模拟所得的分布图。

先算观测样本的 Shapiro–Wilk 统计量

原例想检验某研究中成年男性的体重是否偏离正态分布，单位为磅。数据与原论文关联，保留如下：

import numpy as np
from scipy import stats

x = np.array([148, 154, 158, 160, 161, 162, 166, 170, 182, 195, 236])
res = stats.shapiro(x)
res.statistic

原文展示的统计量是 0.7888146948353875。Shapiro–Wilk 统计量建立在观测值与正态分布期望次序统计量的关系上。来自正态总体的样本，其统计量通常较高、接近 1；这里需要关注的是统计量较小的方向，而不是把“越大越异常”当作通用规则。

用同样大小的正态样本构造零分布

零假设是这组观测来自正态分布。零分布则是：在零假设成立时，反复取样并计算该统计量，统计量会形成怎样的分布。原文指出其精确零分布不容易直接计算，因此用蒙特卡洛方法近似：每次生成与 x 一样大的正态样本，再计算同一个统计量。

def statistic(x):
    # 只返回 Shapiro–Wilk 统计量，不使用这里计算的 p 值
    return stats.shapiro(x).statistic

ref = stats.monte_carlo_test(
    x, stats.norm.rvs, statistic, alternative="less"
)

alternative="less" 表示把较小的统计量视为更极端的结果。statistic() 刻意只返回统计量；如果把整个 shapiro 结果对象当作统计量返回，就改变了蒙特卡洛函数的输入约定。原例没有指定随机种子，模拟值和图形会随运行变化。

把零分布画出来

import matplotlib.pyplot as plt

fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 5))
bins = np.linspace(0.65, 1, 50)

def plot(ax):
    ax.hist(ref.null_distribution, density=True, bins=bins)
    ax.set_title("Shapiro-Wilk Test Null Distribution \n"
                 "(Monte Carlo Approximation, 11 Observations)")
    ax.set_xlabel("statistic")
    ax.set_ylabel("probability density")

plot(ax)
plt.show()

直方图来自 ref.null_distribution，纵轴是概率密度而不是样本数量。每个柱子的高度要与其宽度合起来理解。原例用 0.65 到 1 的 50 个边界值划分柱子，展示的是 11 项观测这一样本量下的参考分布。换一个样本量，不能直接沿用这张零分布解释新的样本。

左尾面积、近似 p 值与模拟 p 值

概念上，p 值衡量的是：零假设成立时，统计量落在观测值或更极端位置的概率。本例取较小方向，因此看观测统计量左侧。原教程用如下代码给这一区域着色：

fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 5))
plot(ax)
annotation = (f"p-value={res.pvalue:.6f}\n(highlighted area)")
props = dict(facecolor="black", width=1, headwidth=5, headlength=8)
_ = ax.annotate(annotation, (0.75, 0.1), (0.68, 0.7), arrowprops=props)
i_extreme = np.where(bins <= res.statistic)[0]
for i in i_extreme:
    ax.patches[i].set_color("C1")
plt.xlim(0.65, 0.9)
plt.ylim(0, 4)
plt.show()

编辑核对：上面的直方图使用模拟结果，图注却引用 res.pvalue，也就是最初 stats.shapiro(x) 返回的近似 p 值。原文展示的是 0.006703814056502984。它不是 ref.pvalue，不能把这一固定数值写成“本次蒙特卡洛检验得到的结果”。

此外，代码按照柱子的边界进行整柱着色，只是示意左尾区域；有限宽度的柱子无法精确画出统计量所在位置的连续尾部面积。若需要并列报告两种计算方式，可以加上以下编辑补充代码，保留完整含义：

print("Shapiro approximation:", res.pvalue)
print("Monte Carlo estimate:", ref.pvalue)

这两行只是区分来源，没有改变数据和检验方向，也没有在本稿中运行。模拟误差以及具体函数采用的 p 值计算细节，应以实际环境和 monte_carlo_test API 文档为准。

怎样解释这个结果

如果事先选定的显著性阈值把这个 p 值认定为“小”，它说明：在正态总体这一假设下，得到这样极端的统计量并不常见，因此可作为反对零假设的证据。这个概率不是“零假设为真的概率”，也不直接衡量偏离正态分布的实际影响大小。

原文强调两个限制。第一，反过来不成立：没有拒绝零假设，不等于证明总体为正态分布；小样本尤其可能没有足够信息发现偏离。第二，“多小才算小”应在分析数据之前决定，并权衡假阳性与假阴性的风险，不能看到结果后再挑选有利阈值。

代码与版本说明

示例需要 NumPy、SciPy 和 Matplotlib。静态审阅没有在所示代码中发现网络传输、硬编码秘密、命令注入或破坏性文件操作；这不构成无漏洞保证。调用统计函数和绘图函数的实际兼容性、随机结果与性能没有在本次任务中测试。

参考文献与来源

Shapiro, S. S. & Wilk, M. B. (1965). An analysis of variance test for normality (complete samples). Biometrika, 52, 591–611. DOI:10.2307/2333709。
NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, 7.2.1.3, Anderson–Darling and Shapiro–Wilk tests；DOI:10.18434/M32189。
Phipson, B. & Smyth, G. K. (2010). Permutation P-values Should Never Be Zero: Calculating Exact P-values When Permutations Are Randomly Drawn. Statistical Applications in Genetics and Molecular Biology, 9. DOI:10.2202/1544-6115.1585。

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