原文：SciPy 文档贡献者，1-D interpolation。本文依据 2026 年 10 月 5 日取得的 SciPy 1.18.0 手册全文翻译整理，保留主要算法、示例与适用边界；两处原文问题在相应位置明确订正。示例仅做静态审查，没有实际运行。
插值是在已知采样点之间构造函数，使它经过这些数据点。选择方法时，需要决定的并不只是“曲线够不够平滑”：还要考虑是否允许过冲、是否需要导数、数据有没有批次维度，以及区间之外应当返回什么。以下从最简单的折线开始，逐步说明这些取舍。
1. 分段线性插值
如果只需要在相邻点之间连直线，可以使用 numpy.interp。输入 x 是采样位置，y 是对应值，xnew 是希望求值的位置：
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
x = np.linspace(0, 10, num=11)
y = np.cos(-x**2 / 9.0)
xnew = np.linspace(0, 10, num=1001)
ynew = np.interp(xnew, x, y)
plt.plot(xnew, ynew, '-', label='linear interp')
plt.plot(x, y, 'o', label='data')
plt.legend(loc='best')
plt.show()这种方法容易理解，但连接处通常有折角。numpy.interp 默认在区间两端之外返回端点值；它还允许指定 left、right 常量或周期参数，不过没有样条那样的边界多项式外推接口。若希望沿边缘直线继续延伸，可以使用后面介绍的 make_interp_spline(..., k=1)。
2. 三次样条及其导数
CubicSpline 把若干三次多项式拼成一条曲线，并使连接处的一阶、二阶导数连续。创建对象后，可以像调用函数一样传入标量或数组；nu 表示要求的导数阶数。
from scipy.interpolate import CubicSpline
spl = CubicSpline(x, y)
fig, ax = plt.subplots(4, 1, figsize=(5, 7))
ax[0].plot(xnew, spl(xnew), label='spline')
ax[0].plot(x, y, 'o', label='data')
ax[1].plot(xnew, spl(xnew, nu=1), '--', label='1st derivative')
ax[2].plot(xnew, spl(xnew, nu=2), '--', label='2nd derivative')
ax[3].plot(xnew, spl(xnew, nu=3), '--', label='3rd derivative')
for a in ax:
a.legend(loc='best')
plt.tight_layout()
plt.show()前两阶导数连续来自构造约束，三阶导数可以在采样点处跳变。这里得到的是插值函数的导数，不等于真实过程的导数；数据噪声、采样间隔和边界条件都会影响结果。
3. 需要保留形状时，检查过冲
二阶连续不一定符合数据本身。在尖峰或异常点附近，普通三次样条可能振荡，甚至超出相邻数据的范围。PchipInterpolator 和 Akima1DInterpolator 都只保证一阶连续，侧重保留局部形状。PCHIP 在单调数据区间保持单调；不能据此把 Akima 也说成对任意数据都有同样的单调性保证。
from scipy.interpolate import (
CubicSpline, PchipInterpolator, Akima1DInterpolator,
)
x = np.array([1., 2., 3., 4., 4.5, 5., 6., 7., 8.])
y = x**2
y[4] += 101
xx = np.linspace(1, 8, 51)
plt.plot(xx, CubicSpline(x, y)(xx), '--', label='spline')
plt.plot(xx, Akima1DInterpolator(x, y)(xx), '-', label='Akima1D')
plt.plot(xx, PchipInterpolator(x, y)(xx), '-', label='pchip')
plt.plot(x, y, 'o', label='data')
plt.legend()
plt.show()原教程用这一组带尖峰的数据对照三种方法。代码中的尖峰是有意加入的演示数据，不能把插值当成异常值检测或去噪：三种方法仍然都试图经过输入点。真正的问题若是测量误差，应先决定数据清理或平滑策略。
4. B 样条表示与非三次插值
B 样条与分段多项式在表示能力上对应，但采用不同的基函数，通常比幂基表示更利于数值计算。它除了插值，也用于回归和曲线建模。make_interp_spline 根据数据构造 BSpline 对象：
from scipy.interpolate import make_interp_spline
x = np.linspace(0, 3 / 2, 7)
y = np.sin(np.pi * x)
bspl = make_interp_spline(x, y, k=3)
der = bspl.derivative()
xx = np.linspace(0, 3 / 2, 51)
plt.plot(xx, bspl(xx), '--', label='sin(pi*x) approx')
plt.plot(x, y, 'o', label='data')
plt.plot(xx, der(xx) / np.pi, '--', label='derivative / pi')
plt.legend()
plt.show()k=3 是默认的三次样条，其一阶导数为二次样条，即 bspl.k 与 der.k 分别为 3 和 2。默认情况下，make_interp_spline(x, y) 与 CubicSpline(x, y) 产生等价的插值函数；前者还允许用 k 选择次数、用 t 指定节点。两者默认边界条件都是 not-a-knot。
把次数设为 1，就能得到带线性外推的折线：
x = np.linspace(0, 5, 11)
y = 2 * x
spl = make_interp_spline(x, y, k=1)
outside_linear = spl([-1, 6])
outside_constant = np.interp([-1, 6], x, y)按公式，前者应得到 [-2, 12]，后者默认返回 [0, 10]。这是代码语义和原教程所给结果的说明，本次没有运行验证。线性外推也不意味着区间之外的预测有精度保证。
5. 一次处理多组 y：弄清插值轴
一元插值器不一定只接受一维 y。若在同一组位置 x[i] 上测量多条曲线，可以让 y[i, j] 保存第 j 条曲线的值。默认沿 axis=0 插值，其余维度作为批次维度：
n = 11
x = 2 * np.pi * np.arange(n) / n
y = np.stack((np.sin(x)**2, np.cos(x)), axis=1)
# x.shape 为 (11,)，y.shape 为 (11, 2)
spl = make_interp_spline(x, y)
xv = np.linspace(0, 2 * np.pi, 51)
values = spl(xv) # 输出形状为 (51, 2)
plt.plot(x, y, 'o')
plt.plot(xv, values, '-')
plt.show()这看起来像 NumPy 广播，但有两个区别：x 仍必须是一维数组，不能把它与 y 自动广播；默认使用尾部维度存放批次，也不同于许多 NumPy 接口把前部维度作为批次的约定。指定其他插值轴时，必须满足 y.shape[axis] == x.size。
原文订正：教程给出的输出形状公式包含了不正确的切片顺序。依据 BSpline.__call__ API 文档，输出应当用求值位置的形状替换插值轴，而不是重新排列整个数组。将 axis 规范化为非负索引后，公式为：
y.shape[:axis] + xv.shape + y.shape[axis + 1:]例如 y.shape == (2, 11, 3)、axis=1、xv.shape == (51,) 时，输出为 (2, 51, 3)。PCHIP、Akima、CubicSpline，底层的 PPoly、BPoly、BSpline，以及多种最小二乘和平滑样条也支持类似批次用法，具体参数仍要以各自 API 为准。
6. 把平面坐标变成参数曲线
前面的例子认为 y 是 x 的函数。参数曲线则把 (x, y) 都视为坐标，用另外的参数 u 描述曲线经过这些点的顺序。这个方法也适用于三维或更高维坐标。困难在于：同一组点采用不同的参数化方式，得到的曲线可能明显不同。
x = [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6]
y = [0, 0, 0, 9, 0, 0, 0]
p = np.stack((x, y)) # shape: (2, 7)，每一列是一个点
u_uniform = np.arange(p.shape[1], dtype=float)
dp = p[:, 1:] - p[:, :-1]
squared_lengths = (dp**2).sum(axis=0)
u_chord = np.r_[0, np.sqrt(squared_lengths).cumsum()]
u_centripetal = np.r_[0, (squared_lengths**0.25).cumsum()]
fig, ax = plt.subplots(1, 3, figsize=(8, 3))
for a, u, name in zip(
ax,
[u_uniform, u_chord, u_centripetal],
['uniform', 'chord length', 'centripetal'],
):
spl = make_interp_spline(u, p, axis=1)
uu = np.linspace(u[0], u[-1], 51)
xx, yy = spl(uu)
a.plot(xx, yy, '--')
a.plot(p[0], p[1], 'o')
a.set_title(name)
plt.show()均匀参数化令 u[j]=j；弦长参数化逐段累加相邻点的欧氏距离；向心参数化则累加距离的平方根。上面第四次方根是因为 squared_lengths 已经是距离的平方。对其他数据，重复的相邻点可能让弦长或向心参数出现重复值，应先按业务含义处理，不能直接交给要求严格递增参数的构造器。
7. 缺失值不是插值器自动替你处理的空位
scipy.interpolate 并不提供统一的缺失数据插值支持。无论用 numpy.ma 的掩码数组，还是用 NaN 标记缺失，都不能假定插值器会自动忽略。库总体遵循 IEEE 754 的数值语义，NaN 表示不是有效数字，而不是带有“请补齐”含义的特殊记录。
构造前应检查数值是否有限、横坐标是否有序且满足接口的严格递增要求、是否存在重复采样位置，以及删去缺失点后是否还够构造所选次数的样条。这是数据建模步骤；删除、聚合或填补不同，得到的曲线也会不同。
8. 边界条件与区间外求值是两件事
bc_type 决定构造时的边界约束，extrapolate 决定求值超出数据范围时的行为。两者有关联，但不是同一个参数。
对 CubicSpline 和 make_interp_spline，bc_type='periodic' 会对边界施加周期约束，需要首尾数据满足周期要求，并使曲线在接缝处满足相应的光滑条件。相反，只设 extrapolate='periodic' 会把区间外位置绕回一个周期，不能替你修复端点的值或导数不匹配。
x = np.array([0, 1, 2.5, 3, 4])
y = np.array([0.0, 1.0, 0.8, 1.2, 0.0])
x_eval = np.linspace(-4, 8, 300)
wrapped = CubicSpline(x, y, extrapolate='periodic')
periodic = CubicSpline(x, y, bc_type='periodic')
plt.plot(x_eval, wrapped(x_eval), ':', label='wrap evaluation')
plt.plot(x_eval, periodic(x_eval), '-.', label='periodic construction')
plt.plot(x, y, 'ko', label='data')
plt.legend()
plt.show()多数相关插值器接受以下区间外策略：
extrapolate=True：延伸第一段或最后一段多项式。extrapolate=False：区间之外返回NaN。extrapolate='periodic'：在支持此值的接口中，周期性地映射求值位置。
多数接口默认允许外推；教程特别指出 Akima 默认不外推，而周期边界构造通常默认采用周期求值。PCHIP 没有 bc_type，给它周期求值参数并不能保证接缝处光滑：
for mode in [True, False, 'periodic']:
pchip = PchipInterpolator(x, y, extrapolate=mode)
plt.plot(x_eval, pchip(x_eval), label=f'extrapolate={mode}')
plt.plot(x, y, 'ko')
plt.legend()
plt.show()求值时还可以临时覆盖构造时的策略，而不修改对象的默认值：
spl = CubicSpline([0, 1, 2], [0, 1, 0], extrapolate=False)
x_eval = np.array([-1, 0.5, 3])
within_only = spl(x_eval)
allow_outside = spl(x_eval, extrapolate=True)原教程给出的结果分别为 [nan, 0.75, nan] 和 [-3, 0.75, -3]。传入 None 表示沿用对象默认值。尤其要记住：“自然”等端点导数约束也不能简单理解成“区间外必然是直线”；远离采样域的外推应单独论证。
9. 旧接口 interp1d 与替代方式
interp1d 已标为 legacy，新代码建议选择更明确的插值器；这不等于接口已经移除。官方仍说明会支持既有用法，没有移除计划。旧代码常这样选择方法：
from scipy.interpolate import interp1d
x = np.linspace(0, 10, 11)
y = np.cos(-x**2 / 9.0)
linear = interp1d(x, y)
cubic = interp1d(x, y, kind='cubic')
nearest = interp1d(x, y, kind='nearest')
previous = interp1d(x, y, kind='previous')
next_value = interp1d(x, y, kind='next')线性情况通常改用 numpy.interp，有多维 y 或特殊外推要求时可考虑一次样条；二次、三次模式可直接使用 make_interp_spline。替换接口时需要核对默认插值轴和边界行为，不能只替换函数名。
分段常量中的 previous 对应使用前一个采样值，在区间内可用 make_interp_spline(x, y, k=0) 表达；nearest 取最近点，next 取下一个点。原文订正：若横坐标代表时间，nearest 和 next 都可能用到未来采样，不能笼统称为因果滤波；previous 才符合“只使用当前或过去样本”的常见保持方式，仍需明确边界约定。
这些模式也可以通过 numpy.searchsorted 构造。下面保留教程的最近邻思路，并以中点平分相邻点；恰好落在中点时，side='left' 选择左侧样本：
x = np.arange(8)
y = x**2
x_new = np.linspace(0, 7, 101)
x_bds = x[:-1] / 2.0 + x[1:] / 2.0
idx = np.searchsorted(x_bds, x_new, side='left')
idx = np.clip(idx, 0, len(x) - 1)
y_new = y[idx]这段手工版本把超出两端的位置夹到端点值，与旧接口可能报错或填充值的行为不同；这种差异必须在迁移时写清楚。先选择需要保证的性质，再选择接口，通常比单纯追求更高次数稳妥。
来源、修订与许可
原文版权归 SciPy community；页面署名为 SciPy 文档贡献者。SciPy 采用 BSD 3-Clause 许可，完整项目许可文本保留在本文下方。本文补充输入检查、区间外语义和静态审查说明，订正原文的批次形状公式及 nearest/next 的因果性表述；图为未完纪原创。参考：原教程、BSpline 求值形状、SciPy 许可。
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